Il s’agit d’organiser une discussion autour d’un court passage dans lequel Miguel Espinoza juge négativement de la valeur et de l’intérêt de la philosophie wittgensteinienne des mathématiques. Ce court extrait est tiré de son article intitulé : Wittgenstein et l’essence des mathématiques, publié dans Bouveresse-Quilliot eds : Visages de Wittgenstein, Beauchesnes Editeurs, 1995, p. 307 :
» Wittgenstein touche les mathématiques par leur côté le moins intéressant, par le bas, par leurs aspects calculatoires. On ne voit pas comment une telle approche peut représenter une contribution à la philosophie des mathématiques….Le plus grave est que les idées de Wittgenstein sur les mathématiques sont en grande partie impliquées par sa philosophie générale (par exemple, les notions de sens, de compréhension, de jeu de langage, de forme de vie). »
13 septembre 2008 %1$s à %2$s 16:19
A quel point serait-il légitime de parler d’une aphilosophie des mathématiques chez Wittgenstein ? Ou bien y-a-t-il des éléments qui laisseraient croire que les idées négatives de Witgenstein sur la philosophie en général et sur la philosophie des mathématiques en particulier peuvent motiver une nouvelle manière de penser les mathématiques aujord’hui?
19 septembre 2008 %1$s à %2$s 4:55
Je n’ai pas lu l’article d’Espinoza dont tu parles… mais lorsque je lis sur le Tractatus :
… je ne vois pas comment pourrait-on dire qu’ici Wittgenstein touche les mathématiques « par le bas ».
Il n’y a en réalité un seul passage que je connaisse de Wittgenstein sur les mathématiques qui corresponde à cette description qui en fait Espinoza. Il est vrai que Wittgenstein porte un régard expérimental sur les mathématiques (tant à l’époque du Tractatus qu’à l’époque des Recherchers) mais un régard expérimental n’est pas du tout un régard « par le bas »!
19 septembre 2008 %1$s à %2$s 4:57
Je n’ai pas lu l’article d’Espinoza dont tu parles… mais lorsque je lis sur le Tractatus :
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… je ne vois pas comment pourrait-on dire qu’ici Wittgenstein touche les mathématiques « par le bas ».
Il n’y a en réalité un seul passage que je connaisse de Wittgenstein sur les mathématiques qui corresponde à cette description qui en fait Espinoza. Il est vrai que Wittgenstein porte un régard expérimental sur les mathématiques (tant à l’époque du Tractatus qu’à l’époque des Recherchers) mais un régard expérimental n’est pas du tout un régard « par le bas »!
19 septembre 2008 %1$s à %2$s 4:59
LA CITATION:
6.13 La logique est transcendentale
6.2 La mathématique est une méthode logique. Les propositions de la mathématique sont des équations, et par conséquent des pseudo-propositions.
6.21 La proposition de la mathématique n’exprime aucune pensée…
etc.
19 septembre 2008 %1$s à %2$s 5:45
Tu l’as dit toi-même en citant le Tractatus : les mathématiques ne pensent pas…elles sont réduite aux opérations de calcul et aux preuves (finies)….Wittgenstein n’aimaient pas les longues démonstrations en mathématiques… »Par le bas » veut dire en définitive que Wittgenstein néglige la dimension spéculative des mathématiques et ne voit pas comment ces dernières puissent contenir autre chose (une pensée par exemple) par-delà leurs procédures de calcul et de démonstration..
21 septembre 2008 %1$s à %2$s 18:41
Je ne vois pas personnellement pourquoi les aspects calculatoirs n’intéresseraient pas le philosophe des mathématiques ? C’est à travers une étude épistémologique de l’histoire et de l’évolution des procédures de calcul que nous pouvons dévoiler certains aspects de la pensée mathématique elle-même. Espinoza semble nous dire qu’un questionnement « pragmatique » du type que nous propose Wittgenstein sur les opérations et les procédures de calcul comme étant tout ce qu’il y a dans les mathématiques mathématiques, ne suffit pas pour considérer ce questionnement comme une philosophie générale qui doit porter avant tout sur les aspects beaucoup abstraits et spéculatifs des mathématiques. Or là l’argument de Espinoza tombe : il se contredit lui-même puisqu’il justifie son point de vue par le fait que la philosophie des mathématiques de wittgenstein prolonge sa philosophie générale qui elle ne porte pas sur aucun aspect calculatoir.
23 septembre 2008 %1$s à %2$s 23:51
Il y a deux arguments dans le propos de Miguel Espinoza contre la philosophie des mathématiques de Wittgenstein. Je nomme ces arguments ainsi : l’argument de l’aspect calculatoire et l’argument de la philosophie générale, et propose la reconstruction suivante :
*** Deux arguments
L’argument de l’aspect calculatoire
(1) La philosophie des mathématiques de W. porte sur l’aspect calculatoire des mathématiques et seulement sur cet aspect-là.
(2) L’aspect calculatoire des mathématiques est l’aspect le moins intéressant des mathématiques.
(3) Une philosophie des mathématiques qui porte sur l’aspect le moins intéressant des mathématiques et seulement sur cet aspect-là n’est pas une contribution pertinente à la philosophie des mathématiques.
Donc : la philosophie des mathématiques de W. n’est pas une contribution pertinente à la philosophie des mathématiques.
L’argument de la philosophie générale
(1*) La philosophie des mathématiques de W. est une conséquence de sa philosophie générale.
(2*) Une philosophie des mathématiques qui est une conséquence d’une philosophie générale ne prend pas en compte la spécificité des mathématiques.
(3*) Une philosophie des mathématiques qui ne prend pas en compte la spécificité des mathématiques n’est pas une contribution pertinente à la philosophie des mathématiques.
Donc : La philosophie des mathématiques de W. n’est pas une contribution pertinente à la philosophie des mathématiques.
Le propos de Wittgenstein sur les mathématiques serait en définitive, selon Miguel Espinoza, à la fois trop réducteur et trop général. Cette critique est-elle légitime ?
Il ne me semble pas que les arguments proposés soient concluants.
*** L’argument de l’aspect calculatoire
Examinons tout d’abord l’argument de l’aspect calculatoire.
Il me semble que la prémisse (1) est tout à fait juste. Cf. par exemple ces quelques citations de W. glanées dans l’article de l’encyclopédie Stanford sur la philosophie des mathématiques de W. :
« mathematics is always a machine, a calculus » (WVC 106)
« If you want to know what 2 + 2 = 4 means, you have to ask how we work it out » because « we consider the process of calculation as the essential thing » (PG 333).
« every proposition in mathematics must belong to a calculus of mathematics » (PG 376)
« In mathematics everything is algorithm » (PG 468)
« Mathematics consists of [calculi | calculations], not of propositions. » (MS 121, 71v; 27 Dec., 1938).
Par conséquent, dans la mesure où les mathématiques sont considérées par W. en elles-mêmes comme un calcul, la prémisse (1) est tout à fait justifiée.
Le problème de l’argument de l’aspect calculatoire réside en fait, il me semble, dans la prémisse 2. Je trouve cela très étrange d’affirmer que l’aspect calculatoire des mathématiques est l’aspect le moins intéressant des mathématiques. L’aspect calculatoire des mathématiques a pris en effet depuis quelques années une place essentielle dans les mathématiques elles-mêmes.
En vrac, quelques éléments clés des mathématiques modernes qui se rapportent à la dimension calculatoire des mathématiques : l’intuitionnisme, le constructivisme, la déduction naturelle, la formalisation de l’idée de computabilité (cf le *Computability and Logic* de Boolos, Burgess et Jeffrey), le lambda calcul, la découverte de la correspondance de Curry-Howard, la corrélation entre les preuves et les programmes, la démonstration automatique, la réalisabilité, la découverte du contenu calculatoire de la logique classique.
Si l’on se réfère à Jean-Louis Krivine : « on peut dire qu’on assiste actuellement à l’émergence d’un domaine tout à fait fascinant, où les concepts de fonction et de programme jouent un rôle clé. Il est clair qu’on tient là un fil conducteur extrêmement solide, qui est en train de nous mener à une compréhension en profondeur des mécanismes et de la nature même du raisonnement mathématique » (« Fonctions, programmes et démonstrations » ; http://www.pps.jussieu.fr/~krivine/articles/fonctpro.pdf ).
En définitive, même si les mathématiques ne se réduisent peut-être pas à un calcul comme l’estime W., on ne peut absolument pas dire que l’aspect calculatoire des mathématiques est l’aspect le moins intéressant des mathématiques, à moins de négliger une part essentielle, fondamentale de l’histoire moderne des mathématiques.
L’argument de l’aspect calculatoire ne me semble ainsi pas concluant. Passons maintenant à l’examen du deuxième argument de Miguel Espinoza : l’argument de la philosophie générale.
*** L’argument de la philosophie générale
La prémisse (1*) semble à première vue peu pertinente. On peut tout aussi bien dire (et je penche davantage vers cette idée-là) que la philosophie générale de Wittgenstein à propos des notions de sens, de compréhension, de règle, de grammaire, prend sa source en partie dans une réflexion sur les mathématiques elles-mêmes (les mathématiques jouant ainsi le rôle de paradigme de la notion de grammaire).
Cf. notamment ce qu’écrit un des spécialistes de W. : « the core of his more mature ideas, i.e. the view of necessity derived from his rule-following considerations, has its clear antecedent in the intermediate phase conception of the relation between the general and the particular within mathematics » (Pasquale Frascolla, Wittgenstein’s philosophy of mathematics, 1994, p.43).
Toutefois, d’un point de vue logique, même si la philosophie générale de W. prend sa source dans une réflexion sur les mathématiques, on pourrait très bien dire que la philosophie des mathématiques de W. est une conséquence de sa philosophie générale. La prémisse (1*) serait en effet acceptable si le propos de W. sur les mathématiques consistait seulement en des affirmations générales, qui s’appliquent à tout langage, y compris au langage mathématique, et ne prennent pas en compte la spécificité des mathématiques.
Il faut noter tout d’abord que W. s’intéresse à des questions proprement mathématiques : la question de la décidabilité, le statut des nombres irrationnels, la théorie des ensembles. Il discute enfin les positions de mathématiciens et de logiciens : Brouwer, Weyl, Hilbert, Skolem, Cantor, Türing, Gödel par exemple. W. prend en compte la spécificité des mathématiques, au moins dans son questionnement. Mais en est-il de même dans les positions qu’il adopte à propos de ses questions ? Après tout, même si W. envisage des questions spécifiques aux mathématiques, les réponses que W. donne à ces questions pourraient en rester à un niveau assez général pour justifier la prémisse (1*).
Même si l’on envisage le problème à ce niveau-là, la prémisse (1*) semble toujours difficilement justifiable. Les considérations de W. sur les nombres naturels dans le Tractatus (6.02 – 6.03) n’ont rien de général et forment au contraire une contribution tout à fait pertinente en philosophie des mathématiques. Wittgenstein semble même anticiper la représentation des nombres que propose Church dans le lambda-calcul en 1933 (« A set of postulates for the foundation of logic (second paper). »). L’idée est ici qu’un nombre peut se définir en terme d’application, et d’itération de l’application, d’une opération à une variable (d’où la définition du Tractatus 6.021 : « Les nombres sont les exposants d’une opération » ). La réponse de W. à la question de savoir ce que sont les nombres naturels n’est donc en rien la simple conséquence d’une philosophie générale. De même le refus de l’idée de classes infinies, ou en d’autres termes, le refus d’un infini actuel (qui semble être au fondement des positions de Wittgenstein sur les irrationnels, les ensembles, la quantification en logique, les questions de décidabilité) se fonde sur une réflexion sur l’idée même d’infini, et non sur des considérations générales qui pourraient s’appliquer à tout langage. Enfin, les positions de W. sur les suites de choix libres de Brouwer, les fonctions arbitraires de Ramsey, l’axiome du choix, et les pseudo nombres réels, semblent se fonder sur une réflexion sur la possibilité d’utiliser en mathématique des signes pour désigner des entités que l’on ne sait pas spécifier. À nouveau ici, le propos de W. n’est pas de l’ordre d’une considération générale qui pourrait s’appliquer à tout langage.
Mais on pourrait prétendre finalement justifier la prémisse (1*) en montrant qu’au fond, à chaque fois, ce sont les mêmes idées qui reviennent : les nombres naturels sont définis en terme de règle et d’opération ; le refus des classe infinies se fonde sur l’idée que l’infini n’a de sens que dans l’application à l’infini d’une opération suivant une règle ; de même, le refus d’admettre des signes pour des entités non spécifiées se fonde sur l’idée que qu’un terme mathématique n’a pas de sens s’il n’y a pas de règles qui déterminent ce sens. À chaque fois donc, ce sont bien les mêmes idées de règle et d’opération qui reviennent. À un tel niveau de généralité, peut-on alors accepter la prémisse (1*) et dire que la philosophie des mathématiques de W. est une conséquence d’une philosophie générale des règles et des opérations ?
En un sens, si on laisse de côté tous les présupposés possibles d’une telle affirmation, et si on affaiblit sa signification, la prémisse (1*) me semble acceptable. Effectivement, au fondement de la philosophie des mathématiques de W., il y a bien l’idée que le sens d’un terme mathématique est donné par des règles et des opérations. Or une telle affirmation est bien, d’un point de vue logique, la conséquence d’une idée plus générale, selon laquelle le sens d’un terme dans un langage est donné par des règles et des opérations. Par conséquent, même si la prémisse (1*) peut paraître au premier abord trop réductrice et générale, je pense qu’elle exprime une certaine vérité à propos de la philosophie des mathématiques de Wittgenstein.
Le problème de l’argument de la philosophie générale réside essentiellement dans la prémisse (2*) qui est, il me semble, un présupposé du raisonnement de Miguel Espinoza. Or cette prémisse n’est pas justifiée. Une philosophie à propos d’un certain domaine, qui se fonde sur une idée qui n’est pas spécifique à ce domaine, peut très bien avoir des conséquences qui prennent en compte la spécificité de ce domaine.
La philosophie des mathématiques de Wittgenstein est évidemment un contre-exemple à la prémisse (2*) :
- la philosophie des mathématiques de W. est fondée sur l’idée générale que le sens d’un terme dans un langage est donné par des règles et des opérations,
- cette idée a pour conséquence que le sens d’un terme mathématique est donné par des règles et des opérations,
- mais cela ne signifie pas que la philosophie des mathématiques de W. ne prend pas en compte la spécificité des mathématiques (dans la mesure où W. s’intéresse à des questions spécifiques aux mathématiques : la question de la définition des nombres naturels, la question de l’infini, la question de l’usage de signes pour des termes non spécifiés, et dans la mesure où l’application de l’idée générale de W. à ces questions est pertinente).
En définitive, on ne voit pas pourquoi une idée générale ne pourrait pas avoir des conséquences pertinentes pour la compréhension d’un certain domaine particulier.
L’argument de la philosophie générale me semble donc aussi peu concluant que l’argument de l’aspect calculatoire.
Merci beaucoup à Hamdi Mlika d’avoir proposé cette discussion.
Je vais essayer de contacter Miguel Espinoza, qui trouvera peut-être le temps de participer à notre discussion.
Cordialement,
Cédric Eyssette
24 septembre 2008 %1$s à %2$s 16:13
Chers Collègues,
Je suis vraiment très touché que le (ou les) responsables de ce blog aient considéré que la conclusion de mon petit article sur Wittgenstein méritait quelques commentaires. Je remercie M. Cédric Eyssette de m’avoir contacté, de m’avoir signalé l’existence de ce blog et de souhaiter que j’y participe, ce que je fais bien volontiers.
Pour moi l’essentiel est de clarifier ceci, que mon point de vue sur les mathématiques, ainsi que sur l’ensemble des sciences, est celui d’un philosophe de la nature, discipline presque oubliée. Et le rapport entre les mathématiques et le monde sensible est l’un des problèmes les plus importants de la philosophie naturelle aujourd’hui.
Les physiciens se sont habitués à parler de « la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences naturelles », efficacité qui veut dire « capacité calculatoire », « capacité de prévision », or, comme nous le savons, prévoir n’est pas comprendre. Ce qui est en jeu est rien de moins qu’une conception de l’homme : ou bien nous exigeons la compréhension, ou bien nous nous contentons d’une science pragmatique, car le pragmatique se félicite d’agir sans comprendre, tout comme le positiviste est satisfait de connaître sans comprendre. Ce serait stupide de nier l’importance du calcul pour nos affaires pratiques, mais dans la hiérarchie philosophique il occupe une place inférieure à celle de la compréhension. Il suit qu’apprécier les mathématiques par son côté calculatoire signifie le faire par le bas.
Une différence entre le philosophe naturel et le physicien est donc que le premier exige la compréhension et ne se satisfait pas de formules efficaces pour la prévision mais qui se révèlent vraies sans que l’on sache pourquoi, sans que l’on connaisse sa portée ontologique. Ainsi le philosophe naturel abrite les plus grands espoirs dans les mathématiques, à condition que celles-ci soient de nature à éveiller en nous le sentiment d’avoir compris.
Plus qu’une règle de calcul, les mathématiques sont idoines pour nous révéler l’ordre naturel caché à la perception sensible, pour nous révéler des symétries et des analogies ; il y a des êtres et des faits mathématiques. Cette exigence envers les mathématiques est absente chez Wittgenstein. Attendu ce que je viens d’évoquer, la conception wittgensteinienne des mathématiques est si pauvre, si réductrice. Il est dommage que la citation de ma conclusion ait été coupée précisément à l’endroit où il y a une clé pour comprendre mon point de vue. A la place des trois points on lit : « Le géomètre a moins de chances de s’égarer sur la nature des mathématiques que le logicien car la géométrie, science fondamentale, est à la base de la mécanique et des autres sciences physiques ». Je voulais dire que la géométrie est apte à éveiller en nous le sentiment de compréhension grâce, en particulier, au rôle joué par l’espace dans notre compréhension, à son l’ambiguïté: réalité sensible d’un côté, concept abstrait d’une discipline mathématique de l’autre. Par contre, la logique – science indispensable à tout être rationnel – a commencé comme une procédure plutôt négative : elle a été développée en grande partie pour montrer les failles dans les raisonnements des adversaires. (Remarquez que la majorité des logiciens sont sceptiques et qu’ils tendent à confondre les talents du philosophe avec ceux de l’avocat).
Toute réflexion portant sur un composant des mathématiques peut être considérée comme une contribution à la philosophie des mathématiques, c’est pourquoi je reconnais, suite aux commentaires de ce blog, que je me suis exprimé de façon tronquée en disant : « on ne voit pas comment une telle approche peut représenter une contribution à la philosophie des mathématiques », car j’aurais dû ajouter : « telle que le philosophe naturel la conçoit ».
Je ne vois pas de contradiction dans les dernières lignes : « Le plus grave est que les idées de Wittgenstein sur les mathématiques sont en grande partie impliquées par sa philosophie générale (p.ex., les notions de sens, de compréhension, de jeu de langage, de forme de vie) et les réserves émises sur sa philosophie des mathématiques se répercutent, comme par « contraposition », sur sa pensée en général. » Quoi qu’il en soit, ici le point qui m’intéresse souligner est le non-réalisme de Wittgenstein qui écrit : « Le mathématicien crée l’essence », un non-réalisme bien présent dans sa philosophie générale, raison pour laquelle le mot que je viens de citer n’est pas une surprise, mais un dictum auquel il fallait s’attendre. Il n’y a donc pas pour lui de réalité naturelle harmonieuse ni de réalité mathématique unifiée, toute réalité est émiettée par les jeux de langage et les mathématiques sont aplaties aux aspects calculatoires.
Merci beaucoup pour votre patience,
Bien cordialement,
Miguel Espinoza http://miguel.espinoza.pagesperso-orange.fr
1 octobre 2008 %1$s à %2$s 17:41
Bonjour.
Impressionnant de tomber au hasard sur des diamants de solidité et d’éclat.
Enfin, nous avons vu que M. Espinoza n’est pas Aristotélicien pour qui l’arithmétique est plus vraie que la géométrie, et pour qui la métaphysique, et ses jeux de conscience, l’est encore davantage.
Vous avez écrit : « Quoi qu’il en soit, ici le point qui m’intéresse souligner est le non-réalisme de Wittgenstein qui écrit : « Le mathématicien crée l’essence », un non-réalisme bien présent dans sa philosophie… »
Petite question. Je croyais que l’essence est un objet logique : l’intersection d’une généralité et d’une particularité (c’est très cartésien si je ne me trompe). Si l’essence est un objet logique, alors le mathématicien est un créateur de logique. Créateur d’objets logiques, objets sans doute autant réalistes que l’émiettement de la réalité ?
Merci infiniment pour votre présence sur le net.
Jean-François Crouzet